1. 逻辑代数中的三种基本运算
逻辑代数的三种基本运算
逻辑代数的三种基本运算包括逻辑“与”、逻辑“或”、逻辑“非”
逻辑“与”
逻辑“与”
逻辑“与”通常也用
指向原始笔记的链接来表示。需要两个或多个条件同时成立才为 1 逻辑“或”
逻辑“或”
逻辑“或”通常也用“OR”表示。其意味着条件之一具备，结果就发生。
真值表
A B y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 逻辑“非”
指向原始笔记的链接逻辑“非”
逻辑“非”通常也用
指向原始笔记的链接表示
常用的一些复合运算逻辑，
2. 逻辑代数的基本公式和常用公式
逻辑代数公式
逻辑代数的基本公式
公式说明 公式 1 公式 2 1 2 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 反演律（德摩根定理） 还原律 10 ； 11 12 逻辑代数的常用公式
指向原始笔记的链接
序号 公式 21 22 23 24 25
26
3. 逻辑代数的基本定理
逻辑代数基本定理
代入定理
代入定理
代入定理指，在任何一个包含
指向原始笔记的链接的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中 的位置，则等式依然成立。因为逻辑式和 A 均只有 0 和 1 两种取值，因此代入定理可以被看为是无需证明的公理。 反演定理
反演定理
对于任何一个逻辑式
，若将其中的所有“ ”换为 “ ”，所有“ ”换为 “ ”，0 换成 1，1 换成 0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，得到的结果就是 。这个规律就是反演定理。 反演定理可以用于求取已知逻辑式的反逻辑式。
在使用反演定理的时候，需要遵守以下两个守则，
指向原始笔记的链接
- 仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序；
- 不属于单个变量上的反号应保留不变。
对偶定理
指向原始笔记的链接对偶定理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。
所谓对偶式是这样定义的：对于任何一个逻辑式
, 若将其中的“ ”换成“ ”,“ ”换成“ ”, 0 换成 1，1 换成 0，则得到一个新的逻辑式 , 这个 就称为 的对偶式，或者说 和 互为对偶式。 为了证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下证明它们的对偶式相等更加容易。
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4. 逻辑函数及其描述方法
4.1. 逻辑函数
逻辑函数
若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入与输出之间是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作，
注：在二值逻辑中，输入与输出都只有两种取值 0 和1。
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4.2. 逻辑函数的表示方法
逻辑函数的表示方法
逻辑真值表
逻辑真值表
真值表的左边列出输入，右边列出输出，每种可能的输入组合对应一行。
指向原始笔记的链接逻辑函数式
逻辑函数式
逻辑函数式将输入与输出之间的逻辑关系用与、或、非的运算式表示就得到逻辑式。
指向原始笔记的链接 逻辑图
逻辑图
逻辑图将逻辑函数式中的各变量之间的与、或、非等逻辑关系，用对应的逻辑图形符号表示出来，就能画出描述函数关系的逻辑图。
指向原始笔记的链接波形图
波形图
波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。这种波形图也叫做时序图。
指向原始笔记的链接卡诺图
卡诺图
卡诺图是将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来。用「1」表示最小项存在，「d」既可以当作「0」，也可以当作「1」。
原则
以
个小方块分别代表 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示 变量全部最小项的卡诺图。
化简特性（卡诺图化简法）
指向原始笔记的链接
- 卡诺图中两个相邻 1 格的最小项可以合并成一个与项，并消去一个变量。
- 卡诺图中四个相邻 1 格的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。
- 卡诺图中八个相邻 1 格的最小项可以合并成一个与项，并消去三个变量。
EDA 中硬件描述语言（HDL）
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4.3. 逻辑函数表达方法之间的转换
逻辑函数表达方法之间的转换
真值表与逻辑式
真值表-逻辑式-转换
真值表到逻辑函数式
- 找出真值表中使逻辑函数
的那些输人变量取值的组合。 - 每组输人变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为 1 的写人原变量，取值为 0 的写 入反变量。
- 将这些乘积项相加，即得
的逻辑函数式。 逻辑函数式到真值表
由逻辑式列出真值表就更简单了。这时只需将输人变量取值的所有组合状态逐一代人逻辑 式求出函数值，列成表，即可得到真值表。
指向原始笔记的链接逻辑函数式与逻辑图
逻辑式-逻辑图-转换
指向原始笔记的链接
- 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
- 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。
波形图与真值表
指向原始笔记的链接波形图与真值表的转换
在从已知的逻辑函数波形图求对应的真值表时，首先需要从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。
在将真值表转换为波形图时，只需将真值表中所有的输人变量与对应的输出变量取值依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到了所求的波形图，如我们前面已经做过的那样。
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4.4. 逻辑函数的两种标准形式
逻辑函数的两种标准形式
逻辑函数有「最小项之和」和「最大项之积」两种标准形式。首先说明最小项和最大项的概念。
最小项和最大项
最小项
对于
个因子，其最小项 ：
是乘积项 - 包含
个因子 个变量均以原变量和反变量的形式在 中出现一次 - 总共有
个
性质
指向原始笔记的链接
- 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为 1
- 全体最小项之和为 1
- 任何两个最小项之积为 0
- 最小项具有相邻性
- 任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。
- 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子
最大项
在
变量逻辑函数中，若 为 个变量之和，而且这 个变量均以原变量或反变量的形式在 中出现一次，则称 为该组变量的最大项。 性质
指向原始笔记的链接最小项之和形式
最小项之和
首先将给定的逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式（亦称“积之和”形式）, 然后再利用基本公式
将每个乘积项中缺少的因子补全, 这样就可以将与或的形式化为最小项之和的标准形式。 转换
最小项之和与最大项之积的关系为
最小项之和可以转化为对应项的最大项之积。
指向原始笔记的链接笔记来源
最大项之积形式
指向原始笔记的链接最大项之积
利用逻辑代数的基本公式和原理, 首先我们一定能把任何一个逻辑函数式化成若干项相乘的或与形式（也称“和之积”形式）. 然后再利用公式
将每个多项式中缺少的变量补齐, 就可以将函数式的或与形式化成最大项之积的形式了. 指向原始笔记的链接笔记来源
5. 逻辑函数的化简方法
逻辑函数的化简方法
逻辑式越简单，其所表示的逻辑关系越明显，同时也有利于用最少的电子器件来实现这个逻辑函数，因此需要通过化简来找到最简形式。
逻辑函数的最简形式
当函数式中包含的乘积项最少，且乘积式里的因子也不能减少的时候，此逻辑式为最简逻辑式。
指向原始笔记的链接1. 公式化简法
公式化简法就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式去消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，没有固定步骤。
1.1. 并项法
利用逻辑代数公式中的
就能将两项合并为一项。 1.2. 吸收法
利用逻辑代数公式中的
，将 AB 项消去。 1.3. 消项法
利用公式
以及 将 或者 项消去。 1.4. 消因子法
利用公式
将 中的 消去。 1.5. 配项法
- 根据公式中的
可以在逻辑函数式中重复写入某一项, 有时能获得更加简单的化简结果。 - 根据基本公式中的
可以在函数式中的某一项上乘以 ， 拆然成两后项分别与其他项合并 ,有时能得到更加简单的化简结果。 2. 卡诺图化简法
由于任何逻辑函数都可以展开为最小项之和的形式，可以采用合并最小项的方法化简逻辑函数。这种方法是适用于任何逻辑函数的、通用的化简方法。
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