状态密度函数一般模型推导

状态密度函数一般模型讨论了一个被三维无限深势阱所束缚的电子。 我们将模型中的这个无限深势阱定义为

假设这个晶体是边长为 的立方体。 将一维无限深势阱的结果进行外推可得，

其中， 和 为正整数。由于其对应正负值产生的波函数仅有符号上的区别，因此我们仅用 k 空间的正坐标的八分之一个球体就能确定量子态密度。

在 方向，两个量子态之间的距离是

将其推广到三维，一个量子态所占据的空间 为

于是，我们可以确定 空间的量子态密度了。 空间的体积微元为 ，因此 空间的量子态密度的微分为

2 代表每个量子态的两种自旋状态； 代表计算的仅为 空间全为正的那八分之一； 代表一个量子态的体积。 这个函数实际上是有关动量的函数，可以化简为

我们也可以用能量 来表示量子态密度函数。 对于自由电子有

代入之后有

这个式子给出了体积为 的晶体中能量 和 之间的量子状态总数。由此可得单位体积的量子态密度