扩散是由于电子在不同位置间的浓度差异导致的一种现象。下面我们将逐步推导出描述这种现象的扩散电流密度公式。
1. 电子移动的基本概念
- 在某一时刻 ( t )，通过平面 ( x ) 的电子从左侧到达 ( x ) 处，它们平均上在时间 ( t -
) 位于位置 ( x - l )。 - 其中：
- ( q ): 单个电子的电荷量；
- ( n (x)): 在( x ) 处的电子浓度;
- (
): 电子的热速度（平均自由移动的速度）； - ( l ): 平均自由程，即单个电子在遇到碰撞前可以走过的距离。
2. 正方向和负方向上的电流密度
- 在正方向上：
- 在负方向上：
3. 扩散电流密度
扩散电流密度为正向与反向的电流密度差的一半，即：
4. 泰勒展开法简化
使用泰勒级数进行近似，可以将电子浓度在不同位置的值展开为：
- 当 ( x \pm l) 处：
将这些近似公式代入扩散电流密度的表达式，我们可以得到：
5. 最终扩散电流公式
最终的扩散电流密度公式为：
其中，(D) 是电子的扩散系数，定义为：
该公式展示了扩散电流密度与浓度梯度之间的线性关系。因此，如果在半导体器件中存在显著的电子浓度差异，则会产生明显的扩散电流。
结论
通过对电子移动、电流密度以及泰勒展开分析方法的应用，我们推导出了描述电子因浓度差而产生的扩散电流的公式，该公式表明扩散电流与电荷载流子的浓度梯度成正比。