高斯光束ET Notes

在光学中，高斯光束（英语：Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以 TEM00 波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

数学形式

高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

这里

$r$ 为径向坐标，以光轴中心为参考点

$z$ 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点

$i$ 为虚数单位（即）

为波数（以“弧度/米”为单位）

$E_{0}=|E(0,0)|$

$w(z)$ 为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/_e_2的点的半径

$w_{0}=w(0)$ 为激光的束腰宽度

$R(z)$ 为光波波前的曲率半径

$\zeta (z)$ 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响

此外，上式中默认忽略了含时项 ${\textstyle e^{i\omega t}}$ 。

对应的辐照度时域平均值为

$I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,$

这里 $I_{0}=I(0,0)$ 为光波束腰中心处的辐照度。常数 $\eta ,$ 为光波所在传播介质中的波阻抗。在真空中， $\eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega }$ 。

波束参数

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。

束腰

对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 $w_{0}$ ，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 $\lambda$ 的光波的腰斑位置在 $z$ 轴上的分布为

$w(z)=w_{0},{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .$

这里将 $z = 0$ 定义为束腰的位置。

$z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

被称为瑞利距离。

瑞利距离和共焦参数[编辑]

与束腰轴向距离等于瑞利距离 $z_{R}$ 处的束宽为

$w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.,$

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

$b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .$

曲率半径[编辑]

$R(z)$ 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

$R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .$

光束偏移[编辑]

当 $z\gg z_{\mathrm {R} }$ ，参数 $w(z)$ 与 $z$ 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

$\theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).$

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

$\Theta =2\theta \ .$

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用[1]。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 $2\lambda /\pi$ 的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 $w_{0}$ 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1，而所有的是激光束的 M2 值均大于1，并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。

Gouy 相位

光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

$\zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .$

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 $e^{-ikz}$ 外，多出一个额外的 Gouy 相移 $\pi$ 。

复数形式的光束参数

可以通过复数形式的光束参数 $q(z)$ 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

$q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .$

倒数 $1/q(z)$ 显式提供了 $q(z)$ ， $w(z)$ 与 $R(z)$ 间的关系：

${1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.$